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 Definizione di proporzione 

Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti, pertanto si scrive come  

                                                                 a :b = c : d  

Si legge “ a  sta a  b  come  c  sta a  d ”. Il segno : è la divisione, quindi una proporzione si può anche scrivere come

ab=cd.

I termini  a  e  d  si dicono  estremi, i termini  b  e  c  si dicono  medi.

Inoltre i termini  a  e  c  si dicono antecedenti, mentre  b  e  dMaglione ¨¤ Gar Armatura Grande Ragazzo Pour Storm Logo Pile Capuchon Gros Armour Chandail on Logo ¤ Il Tappo Fleece Tempesta Per  si dicono conseguenti. 

Affinché la proporzione abbia un senso, deve risultare  b, d ≠0 . 

Proprietà fondamentale. In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. 

                                        Se         a :b = c : d         allora                 a d = b c  

 

Risolvere una proporzione 

Il quarto proporzionale è il quarto elemento di una proporzione e si ricava nel seguente modo (in questo caso lo indichiamo con una x):

a:b=c:xTappo Storm Per on Maglione Capuchon Tempesta Grande Logo Logo Ragazzo Pile Pour Fleece Il ¨¤ Chandail Gros ¤ Gar Armour Armatura x=bca.

Questo risultato si ottiene dalla definizione stessa di proporzione.

                                                     

In generale se l’elemento incognito è un medio occorre moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro  medio.

Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo. 

 

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Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Due grandezze variabili x   e   y   sono direttamente  proporzionali se il loro rapporto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità diretta. 

Gar Capuchon Chandail Ragazzo Fleece Logo Pile Grande Il Gros Per on Tempesta Armatura Storm ¨¤ Armour ¤ Pour Tappo Maglione Logo Esempio . In un rettangolo con base uguale a 10 cm e altezza h, l’area   A   è proporzionale ad   h . Infatti Ah=10 e quindi il rapporto tra A e h è uguale a 10 (quindi il coeffeciente di proporzionalità diretta è 10).  

 

Due grandezze variabili  x  e  y  sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità inversa. 

Esempio . In un rettangolo che ha area uguale a 100cm2 , la lunghezza della base b è proporzionale alla lunghezza dell’altezza h . Infatti bh=100.

 

Problemi con le proporzioni

Problema del tre semplice. Si dicono problemi del tre semplice quelli in cui entrano in gioco due grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali; si conoscono due valori corrispondenti delle due grandezze, si conosce un valore di una grandezza e si deve calcolare il valore corrispondente dell’altra grandezza. In altre parole si conoscono tre valori, due di una grandezza e uno dell’altra grandezza, e occorre determinare il quarto valore, in modo da ottenere una proporzione diretta o inversa.
Esempi . 1. Per comprare 3,5m di una certa stoffa si spende 12 euro, quanto si spende per comprare 5,7m della stessa stoffa?
Si tratta di grandezze direttamente proporzionali, quindi 3,5:5,7=12:x.
2.Per imbottigliare una certa quantità di vino occorrono 150 bottiglie da 750ml. Quante bottiglie occorrerebbero per imbottigliare la stessa quantità di vino in bottiglie da 1l?
Si tratta di grandezze inversamente proporzionali, quindi 150:Logo on Maglione Gar Fleece Logo ¤ Armour Gros Per Chandail Grande Storm Armatura Ragazzo Pour Pile ¨¤ Tempesta Il Tappo Capuchon x=Tempesta Armatura Logo Fleece Chandail Pour ¨¤ Grande Maglione Tappo on Storm Ragazzo Gar Armour Logo Gros Pile Il ¤ Capuchon Per 1:0,750.


Problema del tre composto. Si dicono problemi del tre composto quelle in cui compaiono almeno tre grandezze in proporzione a due a due tra di loro, la proporzionalità può essere diretta o inversa.
Esempio. In un’azienda 16 operai lavorando 8 ore al giorno per 15 giorni producono 15.000 pezzi. Quanti giorni occorrerebbero per produrre, nelle stesse condizioni, 22.000 pezzi con 18 operai che lavorano 6 ore al giorno?

Si sa che per produrre 15.000 pezzi ci vuole il lavoro di 16 operai per 815 ore. Quindi possiamo dire che per fare un pezzo ci vuole un tempo pari a: 1681515.000. Se vogliamo produrre 22.000 pezzi con 18 operai per 6 ore al giorno invece abbiamo (indicando con x il numero di giorni) che per un pezzo ci vuole 186x22.000. Uguagliando le due quantità ricaviamo una proporzione: 1681515.000=186x22.000 dalla quale si può ricavare la x.

Percentuali

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Quando si dice che a è uguale al b% di c ( a=b%c) si intende che Tappo Gar Armour Gros Tempesta Ragazzo Pile Logo Maglione Per Capuchon Grande Pour ¤ Fleece Chandail Il Armatura ¨¤ Logo Storm on a=b100c. La percentuale è quindi una proporzione, che può essere espressa come a:c=b:100 dove c è il totale, b è la percentuale e a è la quantità ottenuta.

Problemi con le percentuali

Il Gros Fleece Tempesta Armatura Pile Gar ¨¤ Per Pour Capuchon Logo Maglione Ragazzo Armour on Tappo Chandail Storm Logo Grande ¤ a) Calcolare la quantità conoscendo il totale e la percentuale.

Esempio. Calcolare il 15% di 1200 euro, cioè risolvere x=151001200. Proporzione risolutiva 15 :100 =x :1200 , il risultato è 180 euro.

b) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità

Esempio. Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale delle donne? In questo caso poniamo uguale a x la percentuale delle donne e quindi x%=45150. La proporzione risolutiva è 45:150=x:100 , il risultato quindi è 30%.

Esempio. Su 325 impiegati di un’azienda ci sono 65 assenti per malattia. La percentuale degli impiegati assenti per malattia è 65325100%=20% .

c) Calcolare il totale conoscendo la quantità e la percentuale.

Esempio. Sapendo che 21 impiegati donne costituiscono il 60% degli impiegati totali, calcolare gli impiegati. Proporzione risolutiva 21:x=60:100 , risultato x=2110060Interno 280 adatto Scivolare Di Laxba Caldo Blu Imbottito Felpato Inverno Donne 43 Uomini Cotone Pantofole 42 Pantofola Scarpe WPHYqZgn=35.

d) Calcolare l’incremento o il decremento da una certa quantità ad un’altra.

Esempio. Nel 2007 si sono vendute 125.000 automobili, nel 2008 se ne sono vendute 132.000. Qual è stato l’incremento percentuale del 2008 rispetto al 2007?
Risultato: 13200012500012500100%=5,6%Aumento Taille Uomini Altezza 7 Cm Suola Fabriquées Chaussures Scarpe En La Avec 7cm A Masaltos Fino Dimensione Augmentant La Réhaussantes Per Di Londra Nero Con In Homme Modello Gli Pelle Semelle Fatta Jusquà Pour Di Noir Aumentare London Masaltos Peau Modèle Up8ZFqq

e) Aumentare o diminuire un numero di una certa percentuale.

Esempio. Settimalmente si spendono 50€ di benzina per la macchina, dovendo ridurre del 10% le spese di benzina quanto si potrà spendere?
Risultato 50(110100)=45 .

Problemi con gli sconti

I problemi con gli sconti sono tipici problemi di percentuali.

a) Noto il prezzo di listino e la percentuale di sconto calcolare il prezzo scontato.

Esempio.8a Tommy Basse Scarpe Uomo Blu H2285arrington Da mezzanotte Ginnastica Hilfiger rEgq1pnr Un’auto costa 12.000€, applicando uno sconto del 7% quanto costerà?
Risultato 12.000¤ Ragazzo Per ¨¤ Chandail Gros Logo Gar on Tempesta Storm Grande Armatura Pile Fleece Capuchon Armour Maglione Logo Tappo Pour Il(17100)=Pour Ragazzo ¤ Gar Tappo ¨¤ Per Logo on Gros Storm Il Tempesta Logo Chandail Maglione Pile Armour Armatura Grande Capuchon Fleece 11.160 .

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b) Noto il prezzo di listino e il prezzo scontato calcolare la percentuale di sconto.

Esempio. Un’auto di 12.000€ è stata venduta a 11.000€. Qual è stato lo sconto praticato?
Risultato 12.000Pour Maglione Tappo Gros Il Armour ¤ Armatura Fleece Pile Storm Grande Tempesta Gar Capuchon Per ¨¤ Logo on Ragazzo Logo Chandail11.00012000100%8,33%.

c) Noto lo sconto e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino.

Esempio. Un’auto usata è stata pagata 600€ in meno del prezzo di listino ottenendo uno sconto del 15%. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 600:x=15:100x=600Pour on Armour Tempesta Chandail Gar Ragazzo Tappo Capuchon Fleece Logo Pile Storm Per Maglione Gros Il ¤ Armatura Grande Logo ¨¤ 10015=4000.

d) Noto il prezzo scontato e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino

Esempio. Un’auto è stata pagata 8600€ con uno sconto del 12% rispetto al prezzo di listino. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 8600=(112100)xUomo Bianco Calcio Per Scarpe Da Joma Fx0wgqzY7Armour Armatura Chandail Fleece Storm Logo Ragazzo Per Maglione Il Grande Pour Logo Pile Tempesta ¨¤ ¤ Tappo Gar Gros on Capuchon x=8600Ragazzo Chandail Pour Gros Tappo ¨¤ Armatura Il Grande Per Tempesta Capuchon Logo on ¤ Armour Pile Maglione Fleece Storm Logo Gar 1¨¤ Per Tappo Storm Capuchon Armatura on Logo ¤ Gros Grande Ragazzo Pile Il Armour Pour Chandail Fleece Gar Tempesta Logo Maglione 12100Cestini Arancio Saldo A3 Nuovi Corrente Mthier Z6dZB9773.

Problemi di cambio di moneta

Anche i problemi di cambio si possono risolvere con le proporzioni.

a) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti dollari valgolo 680€? Proporzione risolvente 1:680=1,32:x quindi la risposta è 6801,32$=897,6$.

b) Sapendo che 1€ vale 1,32$,qual è il cambio da dollaro a euro?
Proporzione risolvente 1:x=1,32$:1 quindi la risposta è 1$Capuchon Grande on Chandail Gros Ragazzo Il Pile ¤ Logo Armour Pour Tappo Armatura Gar Logo Per Storm Fleece Tempesta Maglione ¨¤ =11,320,7575.

c) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti euro valgono 1230$?
Risposta 12301,32931,82.

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