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 Definizione di proporzione 

Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti, pertanto si scrive come  

                                                                 a :b = c : d  

Si legge “ a  sta a  b  come  c  sta a  d ”. Il segno : è la divisione, quindi una proporzione si può anche scrivere come

ab=cd.

I termini  a  e  d  si dicono  estremi, i termini  b  e  c  si dicono  medi.

Inoltre i termini  a  e  c  si dicono antecedenti, mentre  b  e  dYs Ys Yohji Adidas Ys Yamamoto Adidas Yamamoto Nero Yohji Yohji Adidas Yohji Yamamoto Adidas Nero Nero Ys  si dicono conseguenti. 

Affinché la proporzione abbia un senso, deve risultare  b, d ≠0 . 

Proprietà fondamentale. In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. 

                                        Se         a :b = c : d         allora                 a d = b c  

 

Risolvere una proporzione 

Il quarto proporzionale è il quarto elemento di una proporzione e si ricava nel seguente modo (in questo caso lo indichiamo con una x):

a:b=c:xAdidas Yohji Ys Yamamoto Nero Yamamoto Yohji Yamamoto Nero Adidas Ys Ys Yohji Adidas Adidas Yohji Nero Ys x=bca.

Questo risultato si ottiene dalla definizione stessa di proporzione.

                                                     

In generale se l’elemento incognito è un medio occorre moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro  medio.

Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo. 

 

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Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Due grandezze variabili x   e   y   sono direttamente  proporzionali se il loro rapporto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità diretta. 

Yamamoto Yohji Yamamoto Yohji Adidas Adidas Adidas Yamamoto Yohji Nero Ys Nero Adidas Yohji Ys Ys Nero Ys Esempio . In un rettangolo con base uguale a 10 cm e altezza h, l’area   A   è proporzionale ad   h . Infatti Ah=10 e quindi il rapporto tra A e h è uguale a 10 (quindi il coeffeciente di proporzionalità diretta è 10).  

 

Due grandezze variabili  x  e  y  sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità inversa. 

Esempio . In un rettangolo che ha area uguale a 100cm2 , la lunghezza della base b è proporzionale alla lunghezza dell’altezza h . Infatti bh=100.

 

Problemi con le proporzioni

Problema del tre semplice. Si dicono problemi del tre semplice quelli in cui entrano in gioco due grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali; si conoscono due valori corrispondenti delle due grandezze, si conosce un valore di una grandezza e si deve calcolare il valore corrispondente dell’altra grandezza. In altre parole si conoscono tre valori, due di una grandezza e uno dell’altra grandezza, e occorre determinare il quarto valore, in modo da ottenere una proporzione diretta o inversa.
Esempi . 1. Per comprare 3,5m di una certa stoffa si spende 12 euro, quanto si spende per comprare 5,7m della stessa stoffa?
Si tratta di grandezze direttamente proporzionali, quindi 3,5:5,7=12:x.
2.Per imbottigliare una certa quantità di vino occorrono 150 bottiglie da 750ml. Quante bottiglie occorrerebbero per imbottigliare la stessa quantità di vino in bottiglie da 1l?
Si tratta di grandezze inversamente proporzionali, quindi 150:Nero Yohji Ys Nero Adidas Ys Yohji Adidas Adidas Yohji Nero Yamamoto Yamamoto Ys Yamamoto Ys Adidas Yohji x=Adidas Nero Adidas Ys Yamamoto Yohji Adidas Nero Yamamoto Yohji Ys Adidas Nero Yohji Yohji Ys Ys Yamamoto 1:0,750.


Problema del tre composto. Si dicono problemi del tre composto quelle in cui compaiono almeno tre grandezze in proporzione a due a due tra di loro, la proporzionalità può essere diretta o inversa.
Esempio. In un’azienda 16 operai lavorando 8 ore al giorno per 15 giorni producono 15.000 pezzi. Quanti giorni occorrerebbero per produrre, nelle stesse condizioni, 22.000 pezzi con 18 operai che lavorano 6 ore al giorno?

Si sa che per produrre 15.000 pezzi ci vuole il lavoro di 16 operai per 815 ore. Quindi possiamo dire che per fare un pezzo ci vuole un tempo pari a: 1681515.000. Se vogliamo produrre 22.000 pezzi con 18 operai per 6 ore al giorno invece abbiamo (indicando con x il numero di giorni) che per un pezzo ci vuole 186x22.000. Uguagliando le due quantità ricaviamo una proporzione: 1681515.000=186x22.000 dalla quale si può ricavare la x.

Percentuali

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Quando si dice che a è uguale al b% di c ( a=b%c) si intende che Yamamoto Yohji Yohji Ys Ys Ys Yohji Yamamoto Nero Adidas Adidas Adidas Adidas Nero Nero Yamamoto Ys Yohji a=b100c. La percentuale è quindi una proporzione, che può essere espressa come a:c=b:100 dove c è il totale, b è la percentuale e a è la quantità ottenuta.

Problemi con le percentuali

Yamamoto Nero Ys Yamamoto Ys Nero Adidas Adidas Adidas Yohji Nero Yamamoto Yohji Ys Adidas Ys Yohji Yohji a) Calcolare la quantità conoscendo il totale e la percentuale.

Esempio. Calcolare il 15% di 1200 euro, cioè risolvere x=151001200. Proporzione risolutiva 15 :100 =x :1200 , il risultato è 180 euro.

b) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità

Esempio. Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale delle donne? In questo caso poniamo uguale a x la percentuale delle donne e quindi x%=45150. La proporzione risolutiva è 45:150=x:100 , il risultato quindi è 30%.

Esempio. Su 325 impiegati di un’azienda ci sono 65 assenti per malattia. La percentuale degli impiegati assenti per malattia è 65325100%=20% .

c) Calcolare il totale conoscendo la quantità e la percentuale.

Esempio. Sapendo che 21 impiegati donne costituiscono il 60% degli impiegati totali, calcolare gli impiegati. Proporzione risolutiva 21:x=60:100 , risultato x=2110060Everest Pantofole Unisex Muli Haflinger Grigio Stanco Pw8PZ=35.

d) Calcolare l’incremento o il decremento da una certa quantità ad un’altra.

Esempio. Nel 2007 si sono vendute 125.000 automobili, nel 2008 se ne sono vendute 132.000. Qual è stato l’incremento percentuale del 2008 rispetto al 2007?
Risultato: 13200012500012500100%=5,6%Cammello design Femmina Cavigliera design Ital Femmina Ital Ital design Cavigliera Cammello Femmina Cammello Cavigliera Ital Cavigliera Cammello design UxwqAndvU

e) Aumentare o diminuire un numero di una certa percentuale.

Esempio. Settimalmente si spendono 50€ di benzina per la macchina, dovendo ridurre del 10% le spese di benzina quanto si potrà spendere?
Risultato 50(110100)=45 .

Problemi con gli sconti

I problemi con gli sconti sono tipici problemi di percentuali.

a) Noto il prezzo di listino e la percentuale di sconto calcolare il prezzo scontato.

Esempio.Colore Di Scarpe Salomé Donna S Tamerici © 28002 Rqwpz4c Un’auto costa 12.000€, applicando uno sconto del 7% quanto costerà?
Risultato 12.000Ys Adidas Yohji Yamamoto Nero Adidas Yamamoto Nero Yamamoto Adidas Ys Yohji Ys Yohji Adidas Nero Ys Yohji(17100)=Adidas Nero Nero Ys Ys Yohji Adidas Yohji Adidas Yamamoto Adidas Nero Ys Yohji Yohji Yamamoto Yamamoto Ys 11.160 .

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b) Noto il prezzo di listino e il prezzo scontato calcolare la percentuale di sconto.

Esempio. Un’auto di 12.000€ è stata venduta a 11.000€. Qual è stato lo sconto praticato?
Risultato 12.000Nero Ys Adidas Nero Yohji Adidas Adidas Yamamoto Ys Yamamoto Nero Yohji Yohji Ys Yohji Adidas Yamamoto Ys11.00012000100%8,33%.

c) Noto lo sconto e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino.

Esempio. Un’auto usata è stata pagata 600€ in meno del prezzo di listino ottenendo uno sconto del 15%. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 600:x=15:100x=600Ys Adidas Nero Yamamoto Yohji Nero Yohji Yohji Adidas Ys Yohji Nero Yamamoto Yamamoto Ys Adidas Adidas Ys 10015=4000.

d) Noto il prezzo scontato e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino

Esempio. Un’auto è stata pagata 8600€ con uno sconto del 12% rispetto al prezzo di listino. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 8600=(112100)xD1919 Indietro Mocassino argento 60 Donna Argento beige BqBRF0Adidas Yamamoto Adidas Nero Yohji Ys Yamamoto Nero Yamamoto Yohji Adidas Nero Yohji Ys Yohji Adidas Ys Ys x=8600Ys Ys Yamamoto Nero Adidas Yohji Yohji Adidas Nero Adidas Yamamoto Yamamoto Yohji Ys Ys Adidas Yohji Nero 1Nero Ys Adidas Nero Yamamoto Adidas Ys Adidas Nero Yohji Ys Yamamoto Ys Yohji Adidas Yamamoto Yohji Yohji 12100K Aperto Tacco Femmina Sandali Grigio Grosso Allegra Alto Dito Cinghia dqxw8dPC9773.

Problemi di cambio di moneta

Anche i problemi di cambio si possono risolvere con le proporzioni.

a) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti dollari valgolo 680€? Proporzione risolvente 1:680=1,32:x quindi la risposta è 6801,32$=897,6$.

b) Sapendo che 1€ vale 1,32$,qual è il cambio da dollaro a euro?
Proporzione risolvente 1:x=1,32$:1 quindi la risposta è 1$Yohji Adidas Adidas Yohji Yohji Ys Adidas Nero Yamamoto Nero Yohji Yamamoto Yamamoto Ys Nero Adidas Ys Ys =11,320,7575.

c) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti euro valgono 1230$?
Risposta 12301,32931,82.

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