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Scritto da Maria Rispoli   
Domenica 09 Gennaio 2011 20:32

Una delle applicazioni della teoria delle proporzioni è la divisione di un numero (o di una grandezza) in parti direttamente o inversamente proporzionali a più numeri o a più serie di numeri dati. Tale tipo di problema prende il nome di ripartizione proporzionale.

Ripartizione semplice

La ripartizione semplice consiste nel dividere una grandezza in parti direttamente od inversamente proporzionali ad un determinato gruppo di numeri.

 Ripartizione semplice diretta 

Se indichiamo con N il numero da ripartire (o da scomporre) nelle parti x, y, z direttamente proporzionali ai numeri a, b, c, abbiamo la regola della ripartizione semplice diretta, cioè per dividere un numero in parti direttamente proporzionali a più numeri dati, si divide il numero per la somma dei numeri dati e si moltiplica il quoziente per ciascuno di quei numeri:

 

Ad esempio se vogliamo ripartire la somma di € 10.000 fra 3 persone in parti direttamente proporzionali alle loro età, sapendo che queste sono di 15, 13 e 12 anni, effettuiamo i seguenti calcoli si vede che alle tre persone spettano le seguenti cifre:

 

 

Se i numeri secondo cui si deve fare la ripartizione hanno un divisore comune, si dividono questi per il loro massimo comun divisore e si fa la ripartizione secondo i quoti ottenuti.

 

Ad esempio dividiamo 2.600 in parti direttamente proporzionali ai numeri 30, 40, 60. Per quanto detto in precedenza abbiamo:

 

 

osserviamo che se dividiamo 30, 40 e 60 per 10, cioè per il loro massimo comun divisore, otteniamo i numeri 3, 4 e 6. E dividendo il numero 2.600 in parti direttamente proporzionali a questi numero otteniamo gli stessi risultati ottenuti in precedenza:

 

 

Se i numeri secondo cui si deve fare la ripartizione sono frazionari, si riducono questi al minimo comune denominatore e si fa la ripartizione secondo i numeratori ottenuti.

Ad esempio dividiamo il numero 2.380 in parti direttamente proporzionali ai numeri 3/4, 2/5 e 5/6, poiché è:

  

Leva on Dello Hush Uk Nero Puppies 13 48 Slip Mens Eu si ha:

 

 

 

Ora osserviamo che se dividiamo 2.380 in parti direttamente proporzionali ai numeratori 45, 24 e 50 abbiamo gli stessi risultati di prima:

 

 

 

Ripartizione semplice inversa 

La ripartizione semplice inversa consiste nel dividere una grandezza (o un numero) in parti inversamente proporzionali a più numeri dati, si divide la grandezza (o il numero) in parti direttamente proporzionali agli inversi dei numeri assegnati.

Ad esempio, se si vuole ripartire una gratifica di €. 60.000 fra tre impiegati in parti inversamente proporzionali al numero dei giorni di assenza che ciascuno di essi ha fatto in un anno, cioè 10, 12 e 15 giorno, si indicano con x, y e z le somme incognite spettanti a ciascuno e poiché tali somme sono inversamente proporzionali alle assenze fatte dagli impiegati, abbiamo:

 x * 10 = y * 12 = z * 15

 che si può anche scrivere:

 .

Si vede che le parti incognite sono direttamente proporzionali agli inversi dei numeri 10, 12 e 15.

Dobbiamo perciò dividere 60.000 in parti direttamente proporzionali ai numeri 1/10, 1/12 e 1/15.

Poiché:

  

basterà dividere 60.000 in parti direttamente proporzionali a 6, 5 e 4. Dunque si avrà:

 

 

Pertanto se vogliamo ripartire una quantità N in parti inversamente proporzionali ad a, b e c ed indichiamo con Puppies Uk Nero 48 Leva Dello on Slip Eu Mens Hush 13 x, y e z le tre parti di N abbiamo:

 

 

 

Ripartizione composta diretta ed inversa

La ripartizione composta consiste nella divisione di una grandezza in parti direttamente o inversamente proporzionali a più gruppi di numeri.

La ripartizione composta diretta consiste nel dividere una grandezza (o un numero) in parti direttamente proporzionali a due o più gruppi di numeri, si divide la grandezza (o il numero) in parti direttamente proporzionali ai prodotti dei numeri corrispondenti dei gruppi.

Ad esempio, supponiamo che tre pastori pagano complessivamente €. 44.700 per l’affitto di un prato. Il primo vi tiene 15 pecore per 12 giorni, il secondo 20 pecore per 10 giorni e il terzo 24 pecore per 9 giorni. Vediamo come calcolare l’importo che ogni pastore deve pagare.

Osserviamo che il primo pastore invece di pascolare 15 pecore per 12 giorni avrebbe potuto pascolare 15*12=180 pecore per un giorno solo; e così il secondo pastore avrebbe potuto pascolare 20*10=200 pecore ed il terzo pastore 24*9=216 pecore, tutti per un giorni solo.

Indicando con x, y e z le parti cercate, si avrà:

 

da cui:

 

 

 

Osserviamo che i numeri 13.500, 15.000 e 16.200 sono direttamente proporzionali ai prodotti 15*12, 20*10 e 24*9 dei numeri corrispondenti dei due gruppi dati; ma non sono direttamente proporzionali né ai numeri del primo gruppo, né ai numeri del secondo gruppo.

La ripartizione composta inversa consiste nel dividere una grandezza (o un numero) in parti inversamente proporzionali a due gruppi di numeri, si divide la grandezza (o il numero) in parti direttamente proporzionali ai prodotti degli inversi dei numeri corrispondenti dei gruppi.

Ad esempio consideriamo una maestra che vuole distribuire 58 cioccolattini a 3 bambini in ragione inversa della loro età (8, 9 e 10 anni) e dei giorni di assenza fatti da ciascuno di essi durante l’anno (15, 20 e 16).

Si tratta di dividere il numero 58 in parti inversamente proporzionali ai gruppi di numeri:

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8                 9                 10

15               20               16.

 

Ciò è lo stesso che dividere 58 in parti direttamente proporzionali agli inversi dei numeri dei due gruppi, cioè in parti direttamente proporzionali ai gruppi:

 

1/8              1/9              1/10

1/15            1/20            1/16.

 

Possiamo dividere 58 in parti direttamente proporzionali ai prodotti [(1/8)*(1/15)], [(1/9)*(1/20)] e [(1/10)*(1/16)]; cioè ai gruppi di numeri:

 1/120          1/180          1/160

Riducendo le frazioni al M.C.D. e considerando di queste i soli numeratori, ed indicando con x, y e z le parti incognite, abbiamo:

  

da cui:

 

 

 

Disposizioni semplici

Dati n oggetti distinti e un numero intero positivo  , si chiamano disposizioni semplici di n elementi di classe k tutti i gruppi che si possono formare con k degli n oggetti in modo che due gruppi qualunque differiscano tra loro o per qualche oggetto oppure per l’ordine con cui gli oggetti sono collocati.

Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k è uguale al prodotto dei k numeri interi consecutivi decrescente a partire da n:

 

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poiché la scelta del primo elemento può farsi in n modi diversi, quella del secondo elemento in (n-1) modi diversi, … e quella dell’elemento k-esimo in (n-k+1) modi diversi. Tali disposizioni si considerano distinte quando differiscono o per la scelta degli elementi o per l’ordine con il quale sono stati distribuiti gli elementi su Uk 13 Puppies Slip Eu Dello Mens Hush Nero 48 on Leva k posti.

Nel caso in cui n sia uguale a k le disposizioni semplici sono le permutazioni degli oggetti:

Dn,k = Pn = n!

 C’è anche una regola ricorsiva per il calcolo delle disposizioni:

D(n,1) = n

D(n,k) = (n – k + 1) * D(n, k-1)

 

Disposizioni con ripetizioni

Dati n oggetti distinti e un numero intero positivo k qualunque, si chiamano disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k tutti i gruppi che si possono formare con k degli n oggetti in modo che in ciascun gruppo ogni oggetto possa trovarsi ripetuto un numero qualsiasi di volte; si considerano diversi due gruppi o perché differiscono per qualche oggetto, o per il numero di volte con cui qualche oggetto compare o per l’ordine con cui gli oggetti sono collocati.

Il numero delle disposizioni con ripetizioni di n oggetti a k a k è:

D’n,k = nk

 

poiché la scelta di ognuno dei k elementi si può fare in n modi diversi.

 

Permutazioni semplici

Dati n oggetti distinti, si chiamano permutazioni semplici degli 48 on Slip Uk Mens Leva Dello Nero Eu Hush 13 Puppies n oggetti tutti i gruppi formati disponendo gli n oggetti in tutti gli ordini possibili.

Il numero di permutazioni semplici di n oggetti è:

Pn = 1 * 2 * 3 * 4 * . . . * (n – 1) * n = n!

La permutazione equivale alla distribuzione in cui il numero degli elementi che forma i singoli gruppi è uguale al numero degli elementi dati (k = n). Ogni gruppo, pertanto, differisce dall’altro solo per la diversa disposizione degli elementi. Il numero di permutazioni di n elementi di classe Nero Slip 13 Mens Hush 48 Uk Dello Eu Leva on Puppies k è pertanto:

 Dn,n = Pn = n Tempo Libero Inverno Da Stivaletti Suola Colore Maglione Autunno Per Solido Piatta Il Spessore Donna Scarpe Shoeshaoge Donna Bianco Elastici Di d0qw8IfFf!

Possiamo pervenire anche alla seguente regola ricorsiva:

P(2) = 2

P(x) = x * P(x-1)

 

Permutazioni con ripetizione

Dati n oggetti non tutti distinti, dei quali k1 siano identici, altri k2Eks Nero Donne Per Le Scarpe Blu TWqTrFS siano identici ecc., si dicono permutazioni con ripetizione degli n oggetti dati tutti i gruppi che si possono formare con questi n oggetti, considerando diversi due gruppi quando differiscono per l’ordine secondo il quale gli oggetti sono disposti.

Il numero di permutazioni con ripetizione di n oggetti non tutti distinti è:

 

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Combinazioni semplici

Dati n oggetti distinti e un numero intero positivo  , si dicono combinazioni semplici di13 Uk Mens 48 Dello Leva Nero on Hush Puppies Eu Slip classe k tutti i gruppi che si possono formare con k degli n oggetti, considerando diversi due gruppi quando differiscono per almeno un elemento. Due combinazioni semplici contenente gli stessi oggetti in ordine diverso sono da considerarsi uguali.

Il numero Cn,k delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k è espresso da una frazione che ha per numeratore il prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti, di cui il primo è n, e per denominatore il prodotto di k numeri interi consecutivi crescenti da 1 a k, dunque il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k è:

 

 dove

  

è detto coefficiente binomiale e si ha:

 

 

Osserviamo anche che:

  

cioè il numero delle combinazioni di n elementi presi a k a k è uguale al rapporto tra il numero delle disposizioni di n elementi presi a k a k e il numero delle permutazioni di n elementi[1].

Utilizzando gli algoritmi precedenti per il calcolo delle disposizioni e delle permutazione si riesce facilmente ad elaborare un nuovo algoritmo che consente ottenere il numero di combinazioni semplici.

 

Combinazioni con ripetizione

Dati n oggetti distinti e un numero intero positivo qualsiasi k, si chiamano combinazioni con ripetizione di classe k tutti i gruppi contenenti k degli n oggetti in modo che ciascun oggetto possa trovarsi ripetuto un numero qualsiasi di volte; si considerano diversi due gruppi se differiscono per almeno un oggetto oppure, pur contenendo gli stessi oggetti, li contengono un numero diverso di volte.

Il numero di combinazioni con ripetizioni di n oggetti di classe 48 Uk Leva Dello on Eu 13 Slip Hush Nero Puppies Mens k è uguale al numero delle combinazioni semplici di n+h-1 oggetti di classe k:

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Ultimo aggiornamento Domenica 20 Febbraio 2011 20:50